Dla określenia funkcji należy wypisać zbiór ciągów wartości zmiennych, dla których funkcja równa jest jedności oraz zbiór, w którym funkcja przyjmuje wartości 0. Ponadto dla funkcji nie w pełni określonych wypisujemy zbiór wartości zmiennych, dla których wartość funkcji jest nie określona.

Postacią kanoniczną sumy nazywamy funkcję rozłożoną na sumę iloczynów, w których jako czynniki występują funkcje o liczbie argumentów o jeden mniejszej. Pełny iloczyn n zmiennych, jest to iloczyn zawierający wszystkie n zmiennych w postaci nie zanegowanej lub zanegowanej. Chcąc przedstawić funkcję przełączającą w kanonicznej postaci sumy, dla każdego ciągu ze zbioru F₁ piszemy pełny iloczyn, w którym zerom ciągu odpowiadają zmienne zanegowane, a jedynkom - zmienne nie zanegowanej.

Podobnie, chcąc przedstawić funkcję przełączającą w kanonicznej postaci iloczynu, dla każdego ciągu ze zbioru F₀ piszemy pełną sumę, przy czym zerom ciągu odpowiadają zmienne nie zanegowane, a jedynkom - zanegowane. Możemy również dane wyrażenia poddać uproszczeniu stosując prawa algebry Bool'a - taką formę wyrażenia uproszczonego nazywamy wyrażeniem normalnym.

Minimalizacja funkcji przełączającej polega na przedstawieniu jej w postaci normalnej, zawierającej możliwie najmniejszą liczbę zmiennych w celu ograniczenia ilości bramek niezbędnych do stworzenia danego układu. Początkową postacią funkcji jest albo tabelka wartości funkcji przedstawiona w postaci tzw.tablicy Karnaugha, albo zbiory F₁, F₀, F_Z ( 1,0,Z - wykładniki ) ciągów wartości zmiennych, dla których funkcja przyjmuje wartość 1, 0 oraz nie określone.

Minimalizację funkcji przełączających niewielkiej liczby zmiennych (do 5,6) najdogodniej jest przeprowadzić na tablicy Karnaugha. Tablica ta stanowi specyficzną odmianę tablicy wartości funkcji. Z boku tablicy wpisujemy wszystkie ciągi wartości dwu pierwszych zmiennych a, b - a u góry - wszystkie możliwe ciągi wartości pozostałych zmiennych c, d. Ciągi wartości zmiennych przedstawione są w takiej kolejności, że sąsiednie ciągi różnią się wartością tylko jednej zmiennej (ciągami sąsiednimi są również ciąg pierwszy i ostatni). W klatkach tablicy wpisujemy wartość funkcji przełączającej dla odpowiednich wartości argumentów. Jeżeli funkcja jest nie określona dla pewnych wartości zmiennych, to w tych miejscach tabelki stawiamy kreskę.

Iloczyn czterech różnych zmiennych lub ich negacji (pełen iloczyn) przyjmuje wartości 1 dokładnie w jednym polu takiej tablicy. Iloczyn trzech zmiennych przyjmuje wartości 1 w dwóch polach, które albo sąsiadują ze sobą, albo leżą przy przeciwległych krańcach tablicy ( w obu przypadkach będziemy takie pola nazywać sąsiednimi). Wynika to z przyjętej kolejności ciągów wartości zmiennych a, b i c, d opisując tablicę. Iloczyn dwu zmiennych przyjmuje wartość 1 zawsze w czterech polach tablicy, zajmujących cały rząd pionowy lub poziomy albo tworząc kwadrat, leżący całkowicie wewnątrz siatki lub przechodzący przez jej klejone brzegi. Iloczynowi jednoczynnikowemu odpowiada osiem pól, leżących w dwu sąsiadujących ze sobą rzędach.

1. dla trzech zmiennych
2. dla czterech zmiennych
3. dla pięciu zmiennych

W naszym przypadku uzyskujemy bezpośrednio z funkcji w₂ (poz.1). Przerabiamy go bez zmiany wartości funkcji by uzyskać postać dogodną do wykorzystania prawa De'Morgana (poz.2) i wykorzystując je uzyskujemy postać oparta na bramkach NAND (poz.3)

Układy kombinacyjne realizuje się za pomocą elementów logicznych - bramek, bloków funkcjonalnych (tj. multiplekser lub pamięć stała ). Podstawowymi elementami półprzewodnikowymi są w większości technik realizacyjnych elementy NOR lub NAND. Elementy NOR i NAND mają podwójne oznaczenia, gdyż zgodnie z prawem Morgana realizują funkcje zarówno sumy jak i iloczynu - to jest przyczyną ich uniwersalności.

Element NOR realizuje funkcję negacji sumy oraz iloczynu negacji, a element NAND - funkcje negacji iloczynu oraz sumy negacji. Ponieważ element NAND realizuje zarówno negację iloczynu jak i sumę negacji zmiennych, i ma podwójne oznaczenie, wpisanie funkcji przełączającej realizowanej przez układ NAND jest bardzo proste. W układzie takim należy ponumerować kolejno warstwy (poziomy) elementów poczynając od wyjścia układu, po czym elementy NAND znajdujące się na poziomach nieparzystych należy narysować jako sumy negacji. Wówczas, pamiętając, że negacja na wyjściu elementu znosi się z negacją na dołączonym do niego wejściu, łatwo napisać funkcję realizowaną przez układ.

Przy syntezie układu złożonego z elementów NAND, realizującego daną funkcję przełączającą, należy narysować realizację danej funkcji na elementach sumy i iloczynu (rys. a), a następnie zastąpić iloczyny przez negacje iloczynów, a sumy przez sumy negacji , dodając jednocześnie negatory lub zanegowując zmienne wyjściowe, tak aby realizowana funkcja nie uległa zmianie (rys.b). Otrzymany układ jest złożony z elementów NAND. Niekiedy dla ujednolicenia schematu wszystkie elementy NAND rysujemy jako negacje iloczynu (rys. c).

Dowolny układ kombinacyjny może być zrealizowany przy użyciu pamięci stałej ROM, w której zapisane są tablice funkcji przełączających opisujących ten układ. Na wejścia adresowe pamięci podane są zmienne wejściowe, a wyjścia pamięci są wyjściami układu. Przy użyciu multipleksera z m-bitowym adresem można zrealizować dowolną funkcję przełączającą m zmiennych. Realizacja funkcji m zmiennych nie wymaga dodatkowych elementów. Używając tylko negatorów można zrealizować również dowolną funkcję m+1 zmiennych.

Chcąc zrealizować wielowyjściowy układ kombinacyjny, opisany zespołem n funkcji przełączających tych samych zmiennych, trzeba użyć multipleksera komutującego słowa n-bitowe ( lub n multiplekserów 1-bitowych).

[1]W. Majewski: Układy logiczne. Warszawa WNT 1974.
[2]J. Siwiński: Układy przełączające w automatyce. Warszawa WNT 1980.
[3]W. Traczyk: Układy cyfrowe automatyki. Warszawa WNT 1974.
[4]F. Wagner: Projektowanie urządzeń cyfrowych. Warszawa WNT 1978.

W pewnym ogródku botanicznym zainstalowano grzałkę, zraszacz, 2 czujniki temperatury (T1,T2) oraz 3 czujniki wody (W1,W2,W3). Zależność między czujnikami temperatury jest taka, że gdy T1 jest włączony - jest zimno. Gdy oba są wyłączone - jest letnio. Gdy oba są włączone jest ciepło, a wypadku, gdy T1 jest włączony, a T2 wyłączony - jest bardzo ciepło.

Grzałka jest włączona, gdy jest zimno lub letnio, a także, gdy jest ciepło i poziom wody znajduje się powyzej czujnika W2.

Zraszacz jest włączony, gdy poziom wody znajduje się poniżej czujnika W1, gdy poziom wody znajduje się pomiędzy W1 a W2 i jest bardzo ciepło, a także gdy poziom znajduje się między W2 a W3 i jest bardzo ciepło lub ciepło. W sytuacji, kiedy poziom wody znajduje się powyżej czujnika W3, zraszacz jest wyłączony.

Legenda bramek użytych na stronie:

Optymalizacja grzejnika (G):

		Wybieramy optymalizację po jedynkach i zamieniamy ją na bramki nand, gdyż wydaje nam się, że będzie praktyczniejsza. Zamiana bramek na jednakowe - na nand
Optymalizacja po 1: G(1) = ~T2 + T1W2
Optymalizacja po 0: G(0) = (W2 + ~T2) (T1 + ~T2)

Optymalizacja zraszacza (Z):

		Wybieramy optymalizację po jedynkach i zamieniamy ją na bramki nand, gdyż wydaje nam się, że będzie praktyczniejsza. Zamiana bramek na jednakowe - na nand
Optymalizacja po 1: Z(1) = ~W1 + (~W2)(~T1)T2 + W2(~W3)T2
Optymalizacja po 0: Z(0) = (~W1 +T2)(~W1 + W2 + ~T1)(~W1 + ~W3)